В 1986 года был рекомендован Олегом Романцевым, команда которого, «Красная Пресня», играла в одной зоне с каширским «Динамо», Константину Бескову. В «Спартаке» провёл полгода (играл за дубль), после которых попросился играть за «Красную Пресню». После того как Романцев стал главным тренером в «Спартаке» Орджоникидзе, Кульков последовал за ним. В команде провёл яркий сезон и вслед за Романцевым в 1989 году отправился в московский «Спартак». С первого же сезона стал игроком основы.
