Воспитанник СДЮШОР московского «Динамо»[5][6] (по другим данным — футбольной школы «Чертаново»)[7]. В фарм-клубе москвичей, в «Динамо» (Кашира), проходил два года армейской службы, играл во второй союзной лиге. При этом Кулькова держал на примете главный тренер «Динамо» (Москва) Эдуард Малофеев, привлекал к играм за дубль.
В 1986 года был рекомендован Олегом Романцевым, команда которого, «Красная Пресня», играла в одной зоне с каширским «Динамо», Константину Бескову. В «Спартаке» провёл полгода (играл за дубль), после которых попросился играть за «Красную Пресню». После того как Романцев стал главным тренером в «Спартаке» Орджоникидзе, Кульков последовал за ним. В команде провёл яркий сезон и вслед за Романцевым в 1989 году отправился в московский «Спартак». С первого же сезона стал игроком основы.
В 1991 году принял приглашение португальской «Бенфики», в которую его взяли без просмотра. В команде провёл несколько успешных сезонов. В 1994 году вместе с Юраном принял приглашение Бобби Робсона и перешёл в «Порту».
