Воспитанник СДЮШОР московского «Динамо»[5][6] (по другим данным — футбольной школы «Чертаново»)[7]. В фарм-клубе москвичей, в «Динамо» (Кашира), проходил два года армейской службы, играл во второй союзной лиге. При этом Кулькова держал на примете главный тренер «Динамо» (Москва) Эдуард Малофеев, привлекал к играм за дубль.
В 1986 года был рекомендован Олегом Романцевым, команда которого, «Красная Пресня», играла в одной зоне с каширским «Динамо», Константину Бескову. В «Спартаке» провёл полгода (играл за дубль), после которых попросился играть за «Красную Пресню». После того как Романцев стал главным тренером в «Спартаке» Орджоникидзе, Кульков последовал за ним. В команде провёл яркий сезон и вслед за Романцевым в 1989 году отправился в московский «Спартак». С первого же сезона стал игроком основы.
Клубная карьера[* 1]1984—1985
Динамо (Кашира)52 (7)1986—1987 Красная Пресня47 (10)1988 Спартак (Орджоникидзе)42 (3)1989—1991 Спартак (Москва)75 (4)1991—1994
Бенфика53 (6)1994—1995 Порту24 (2)1995—1997
Спартак (Москва)18 (0)1997→ Спартак-д5 (1)1996→ 
Миллуолл6 (0)1997—1998 Зенит (СПб)41 (2)1999 Крылья Советов7 (0)1999—2000 Алверка19 (0)2001 ШатураНациональная сборная[* 2]1989—1991 СССР20 (0)1992
СНГ1 (0)1992—1995 Россия21 (5)Тренерская карьера2001 Шатуратренер2002—2003 Алмазтренер2003 Маритимутренер2003—2004 Химкитренер2005 Томьтренер2007—2008 Локомотив (Москва)тренер2009—2012 Спартак-мол. (Москва)тренер2013 Спартак-мол. (Москва)
